坚持理论联系实际

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高中数学网志v2.0 江苏省黄桥中学数学组 袁春伟(225411) 首页 分页: 换地址了！ -[ 数学其他 ] 时间：2005/03/13 15:13 新域名： http://www.mathsblogs.com http://www.dovebear.net 欢迎大家换新地址！ mathsblog 发表于 15:13 | 阅读全文 | 评论(0) | 引用(Trackback0) | 编辑 §1.3 交集、并集 -[ 教案选摘 ] 时间：2004/09/06 09:02 新域名： http://www.mathsblogs.com http://www.dovebear.net 欢迎大家换新地址！ §1.3 交集、并集 教学目标 （1）理解交集与并集的概念； （2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合； （3）能用图示法表示集合之间的关系； （4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法； （5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程； （6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯． 教学建议 1．教材分析 （ 1 ）知识结构 本节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质． （ 2 ）重点难点分析 重点：交集与并集的概念； 难点：弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系． ①本小节的重点是交集与并集的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键词“且”、“或”，理解它们并不困难．可以借助代数运算帮助理解“且”、“或”的含义：求方程组的解集是求各个方程的解集的交集，求方程 的解集，则是求方程 和 的解集的并集；求不等式组的解集是求各个不等式的解集的交集，求不等式 的解集，则是求 和 的解集的并集，或是求不等式组 与 及不等式组 与 的解集的并集． ②本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联系和区别．突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号、简单的性质和推论，并会正确地表示一些简单的集合．利用数形结合的思维，将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用． 2 ．教法建议 （ 1 ）注重数形结合，从集合 A 和 B 的文氏图中引出交集、并集的概念 在引出交集、并集的概念时，最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从集合 A 和集合 B 的文氏图中，寻找它们之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行集合之间的交并运算打下基础． （ 2 ）注意交集、并集概念的符号语言表示，提高学生的数学语言表达能力 教材对于交集、并集的概念还给出了它们各自的符号语言表示，即： ① ② 对于符号语言的表示要注意它们的区别和联系，抓住概念中的关键词“且”、“或”． ①中的“且”字，它说明 的任一元素 都是 A 与 B 的公共元素。由此可知， 必是 A 与 B 的公共子集，即： ． ②式中的“或”字的意义，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“ ”这一条件，包括下列三种情况： ， ，且 （很明显，适合第三种情况的元素 构成的集合就是 ，它不一定是空集）。还要注意， A 与 B 的公共元素在 中只出现一次。因此， 是由所有至少属于 A ， B 两者之一的元素组成的集合。 由定义可知， A 与 B 都是 的子集，联系到 都是 A ， B 的子集，可得下面的关系式： （ 3 ）运用对比教学的方法，使学生区分开交、并集的概念，能正确对集合之间求交与求并． 教师在讲解了交集、并集的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容．见下表． 名 称 交 集 并 集 定 义 由所有属于集合 A 且 属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集． 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集． 记 号 （读作“ A 交 B ”） （读作“ A 并 B ”） 简 而 言 之 A 与 B 的公共元素组成的集合即 且 A 与 B 的所有元素组成的集合即 或 图 示 （一般情形） （阴影为 ） （阴影为 ） 性 质 ， , ， ， ． ， , ， ， ． （ 4 ）培养用图示法（即文氏图）表示集合之间的关系的能力 用图示法表示集合之间的关系有两层意思：一方面给定一个集合或集合之间的运算关系，会用图示法（即维恩图）表示；另一方面给出一个维恩图，会用集合表示图中指定的部分（如阴影部分）． 作一些这方面的引导和训练，既可加深对集合关系及运算的理解，又可打提高数形结合思维能力，还可不断培养正向思维和逆向思维的能力． （ 5 ）适当地运用集合关系进行简单推理 运用集合关系进行简单推理虽不是本节的教学要求，但对学有余力的学生不失为一种良好的思维训练，有助于提高抽象思维能力．例如利用集合相等完全可以证明交集与并集的性质和推论，可分为两个步骤去实施： （ 1 ）先举一些具体的集合的实际例子，然后代入性质或推论，说明它们都是成立的（感性认识）。 （ 2 ）再尝试用学过的知识去证明这些性质或推论是成立的（逻辑推理）。 例：证明 ． （ 1 ）说明：设 ， ， ． 则 ， ； ， ． 所以 ． （ 2 ）证明：设 ，则 ，且 ，故 ，且 ， ， 即 ，且 ， 从而 ． 根据集合相等的定义，则 ． 类似地，可说明和证明其他的性质和推论． 教学设计示例 交集、补集 教学目标： （ 1 ）理解交集与并集的概念； （ 2 ）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合； （ 3 ）能用图示法表示集合之间的关系； （ 4 ）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法； （ 5 ）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程； （ 6 ）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯． 教学重点： 交集和并集的概念 教学难点： 交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 教学过程设计 一、导入新课 【提问】 试叙述子集、补集的概念？它们各涉及几个集合？ 补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种． 回忆． 倾听．集中注意力．激发求知欲． 巩固旧知．为导 入新课作准备． 渗透集合运算的意识． 二、新课 【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）． 【设问】 1 ．第一次看到了什么？ 2 ．第二次看到了什么 3 ．第三次又看到了什么？ 4 ．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集 A 、集 B 元素有何关系？ 【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集 A 与集 B 的公共部分为集 A 与集 B 的交集． 【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念． 【助学】“且”的含义是“同时”，“又”． “所有”的含义是 A 与 B 的公共元素一个不能少． 【介绍】集合 A 与集合 B 的交集记作 ．读做“ A 交 B ”· 【助学】符号“ ”形如帽子戴在头 上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“ ”、“ ”混淆． 【设问】集 A 与集 B 的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？ 【设问】 与 A 有何关系？如何表示？ 与 B 有何关系？如何表示？ 【随练】写出 ， 的交集． 【设问】大家是如何写出的？ 我们再看下面的图． 【设问】 1 ．第一次看到了什么？ 2 ．第二次除看到集 B 和 外，还看到了什么集合？ 3 ．第三次看到了什么？如何用有关集合的符号表示？ 4 ．第四次看到了什么？这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示． 5 ．第五次同学看出上面看到的集 A 、集 B 、集 、集 、集 ，它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？ 6 ．第六次看到了什么？ 7 ．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集 A 集 B 的元素有何关系？ 【注】若同学直接观察到 ，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行． 【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集 A 集 B 并在一起的感觉，称为集 A 集 B 的并． 【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？ 【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集 A 中的所有元素要取，集 B 中的所有元素也要取． 【介绍】集 A 与集 B 的并集记作 （读作 A 并 B ）． 【助学】符号“ ”形如“碰杯”时的杯 子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“ ”混淆，更不能与“ ”等符号混淆． 观察．产生兴趣． 答：图示法表示的集 A ． 答：图示法表示集 B ．集 A 集 B 的公共部分· 答：公共部分出现阴影． 倾听．观察 思考．答：该集合中所有元素属于集合 A 且属于集合 B ． 倾听．理解． 思考．答：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集． 倾听．记忆． 倾听．兴趣记忆． 思考：“列举法还是描述法？” 答：描述法． 思考．议论． 口答结合板书． 想象交集的图示，或回忆交集的概念． 口答结合板书： 是 A 的子集． A ． 是 B 的子集． 口答结合板书． 口答：从一个集合开始，依次用其每个元素与另一个集合中的元素对照，取出相同的元素组成的集合即为所求． 答：图示法表示的集 A ． 答：集 A 中子集 A 交 B 的补集． 答：上述区域出现阴影． 口答结合板书 答：出现阴影． 口答结合板书 认真、仔细、整体的进行观察、想象．答：表示集 A 集 B 的两条封闭曲线除去表示交集的封闭曲线剩余部分组成一条封闭曲线的内部所表示的集合． 答：出现阴影． 思考：答：该集合中所有元素属于集合 A 或属于集合 B ． 倾听，理解． 回忆交集概念，思考．答：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集． 倾听．比较．记忆． 倾听，记忆． 倾听．兴趣记忆．比较记忆，． 直观性原则．多 媒体助学． 用直观、感性的 例子为引入交集做铺垫． 渗透集合运算意识． 直观的感知交集． 培养从直观、感 性到理性的概括抽象能力． 解决难点． 兴趣激励．比较 记忆 培养用描述法表示集合的能力． 培养想象能力． 以新代旧． 突出重点． 概念迁移为能力． 进一步培养观察能力． 培养观察能力 以新代旧． 培养整体观察能力． 培养从直观、感性到理性的概括抽象能力． 解决难点．比较记忆． 兴趣激励，辩易混．比较记忆． 【设问】集 A 与集 B 的并集除上面看到的用图示法表示外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？如何表示？ 【设问】 与 A 有何关系？如何表示？与 B 有何关系？如何表示？ 【随练】写出 ， 的并集． 【设问】大家是如何写出的？ 【例 1 】 设 ， ，求 （以下例题用投影仪打出，随用随启）． 【助练】本例实为解不等式组，用数轴法找出公共部分，写出即可． 【例 2 】 设 ， ，求 【例 3 】设 ， ，求 【例 4 】设 ， ，求 【助学】数轴法（略）．想象前面集 A 集 B 并集的图示法，类似地，将两个不等式区域并到一起，即为所求．其中元素 2 虽不属于集 A 倮属于集 B ，所以要取，元素 1 虽不属于集 B 但属于集 A ，所以要取，因此，只要将集 A 的左端点，集 B 的右端点组成新的不等式区域即为所求（两端点取否维持题设条件）． 【助练】以上例题，当理解并较熟练后，且结果可进一步简化时，中间一步或两步可省略．如例 4 ． 【练习】教材第 12 页练习 1 ～ 5 ． 【助练】 1 ．全集与其某个子集的交集是哪个集合？ 2 ．全集与其某个子集的并集是哪个集合？ 3 ．两个无公共元素的集合的交集是什么集合？ 4 ．两个无公共元素的集合 A 、 B ，它们的并集如何表示？ 5< < /> mathsblog 发表于 09:02 | 阅读全文 | 评论(1) | 引用(Trackback0) | 编辑 §1.2 子集、全集、补集 -[ 教案选摘 ] 时间：2004/09/06 08:56 §1.2 子集、全集、补集 教学目标 （1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念； （2）了解全集、空集的意义， （3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力； （4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集； （5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想； （6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力． 教学建议 1．教材分析 （ 1 ）知识结构 本节的教学内容分为两部分，第一部分是子集，介绍了子集、真子集及两个集合相等的概念，说明了任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集． 第二部分是全集、补集．给出了全集、补集的意义，说明了如何求出一个给定的集合在全集中的补集． （ 2 ）重点、难点分析 ①本小节的重点是子集、补集的概念． 子集概念是本章在介绍了集合概念后，从讨论集合与集合之间的包含与相等地关系入手，给出了子集的概念的． 正确理解子集的概念有助于理解与子集有关的全集、补集的概念，由于学生是刚开始接触集合的符号表示，所以子集和真子集的符号要提醒学生注意这些符号地方向不要搞错． 补集的概念是在子集、全集的概念之后给出的，子集的概念是涉及两个集合之间关系，而补集是涉及三个集合之间的特定关系，在讲解补集概念时还可以加深子集的概念． 正确运用子集、补集的概念，是用集合观点分析、解决问题的重要内容，学好它们，可以为学生进一步学习交集，并集的概念以及集合的其他初步知识打好基础，同时，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，更好地使用集合语言表述数学问题，更好地运用集合的观点研究、处理数学问题． ②本节的难点是弄清元素与子集，属于与包含之间的区别． 学生在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，初学者容易弄混这些概念，在使用符号 ， 表示时经常混用． 这是因为学生在学习中接触了比较多的新概念，新符号，而这两组概念，符号比较容易混淆，这些因素可能给学生学习带来困难，因此在教学中引进符号时，应说明其意义，强调本质区别在与个体与整体、整体与整体的关系，并通过例题、习题，使集合与元素的概念多次出现，结合错例分析，使属于与包含的符号反复使用，以培养学生正确应用概念和使用术语、符号的能力． 2 ．教法建议 （ 1 ）从具体到抽象，从特殊到一般，充分利用图形的直观，引进概念、阐明概念的意义 子集、真子集、补集这些重要概念的教学，首先可以通过一些实例（可以用由数字组成的集合）来引入，并分析它们各自所具有的特征，然后把它一般化，概括出定义，其次，可以充分利用文氏图的直观性，形象地说明真子集、补集，这样处理，学生对这些概念就容易接受，而且还可以通过对图形的观察，发现这些概念所具有的某些重要性质．如包含关系的传递性．但是，应注意，由特殊事例归纳出一般结论的举例最好尽可能地把各种具有代表性的情况都列举出来．例如子集、真子集、集合的相等，可以通过考察三个集合： 间的关系来引入． （ 2 ）概念、术语的意义要讲清，语言表述要确切；对于容易混淆的概念，要抓住不同点，培养学生的判断能力． 例如，“ A 是 B 的子集”，意思是 A 的任何一个元素都是 B 的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把 A 是 B 的子集解释成 A 是由 B 中部分元素所组成的集合．因为 B 的子集也包括它本身，而这个子集是由 B 的全体元素组成的． 空集也是 B 的子集，而这个集合中并不含有 B 中的元素．由此也可看到，把 A 是 B 的真子集解释成 A 是由 B 的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“ A 是 B 的子集”和“ B 中至少有一个元素不属于 A ”都指出． “空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切． 再如，“ A B 是 A 在全集 B 中的补集”，不能把它简单地说成 A B 是 A 的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合 A 在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个集合中的补集，简单的说集合 A 的补集是没有意义的． （ 3 ）要明确有关数学符号、记号的意义，正确加以使用 本单元中引进的数学符号、记号比较多，初学者往往不善于使用，对此教学中必须在每一符号引进时，说明其意义，配备适当的例题、习题，逐步让学生熟悉这些符号，正确地运用这些符号． 例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误． 又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ． 关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 关于补集，新的国家标准规定，集合 A 中子集 B 的补集或余集记为 ，如果行文中集合 A 已经很明确，则常常可以省去符号 A ，而记为 B ． 教学设计示例 教学目标： （ 1 ）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念； （ 2 ）了解全集、空集的意义， （ 3 ）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力； （ 4 ）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集； （ 5 ）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想； （ 6 ）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力． 教学重点： 子集、补集的概念 教学难点： 弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 教学用具： 幻灯机 教学过程设计 （一）导入新课 上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识． 【提出问题】（投影打出） 已知 ， ， ，问： 1 ．哪些集合表示方法是列举法． 2 ．哪些集合表示方法是描述法． 3 ．将集 M 、集从集 P 用图示法表示． 4 ．分别说出各集合中的元素． 5 ．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集 N 中元素 3 与集 M 的关系用符号表示出来． 6 ．集 M 中元素与集 N 有何关系．集 M 中元素与集 P 有何关系． 【找学生回答】 1 ．集合 M 和集合 N ；（口答） 2 ．集合 P ；（口答） 3 ．（笔练结合板演） 4 ．集 M 中元素有－ 1 ， 1 ；集 N 中元素有－ 1 ， 1 ， 3 ；集 P 中元素有－ 1 ， 1 ．（口答） 5 ． ， ， ， ， ， ， ， （笔练结合板演） 6 ．集 M 中任何元素都是集 N 的元素．集 M 中任何元素都是集 P 的元素．（口答） 【引入】在上面见到的集 M 与集 N ；集 M 与集 P 通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题． （二）新授知识 1 ．子集 （ 1 ） 子集定义 ：一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的 任何 一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含于 集合 B ，或集合 B 包含 集合 A 。 记作： 读作： A 包含于 B 或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B ，或集合 B 不包含集合 A 时，则记作： A B 或 B A ． 性质：① （任何一个集合是它本身的子集） ② （空集是任何集合的子集） 【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？ 【解疑】不能把 A 是 B 的子集解释成 A 是由 B 中部分元素所组成的集合． 因为 B 的子集也包括它本身，而这个子集是由 B 的全体元素组成的．空集也是 B 的子集，而这个集合中并不含有 B 中的元素．由此也可看到，把 A 是 B 的子集解释成 A 是由 B 的部分元素组成的集合是不确切的． （ 2 ） 集合相等 ：一般地，对于两个集合 A 与 B ，如果集合 A 的 任何 一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的 任何 一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于 集合 B ，记作 A=B 。 例： ，可见，集合 ，是指 A 、 B 的所有元素完全相同． （ 3 ） 真子集 ：对于两个集合 A 与 B ，如果 ，并且 ，我们就说集合 A 是集合 B 的 真子集， 记作： （或 ），读作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A 。 【思考】能否这样定义真子集：“如果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集．” 集合 B 同它的真子集 A 之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合 A ， B ． 【提问】 （ 1 ） 写出数集 N ， Z ， Q ， R 的包含关系，并用文氏图表示。 （ 2 ） 判断下列写法是否正确 ① A ② A ③ ④ A A 性质： （ 1 ）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且 A ≠ ，则 A ； （ 2 ）如果 ， ，则 ． 例 1 写出集合 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解：集合 的所有的子集是 ， ， ， ，其中 ， ， 是 的真子集． 【注意】（ 1 ）子集与真子集符号的方向。 （ 2 ）易混符号 ①“ ”与“ ”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如 R ， {1} {1 ， 2 ， 3} ② {0} 与 ： {0} 是含有一个元素 0 的集合， 是不含任何元素的集合。 如： {0} 。不能写成 ={0} ， ∈ {0} 例 2 见教材 P 8 （解略） 例 3 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正． （ 1 ） 表示空集； （ 2 ）空集是任何集合的真子集； （ 3 ） 不是 ； （ 4 ） 的所有子集是 ； （ 5 ）如果 且 ，那么 B 必是 A 的真子集； （ 6 ） 与 不能同时成立． 解：（ 1 ） 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（ 1 ）不正确； （ 2 ）不正确．空集是任何非空集合的真子集； （ 3 ）不正确． 与 表示同一集合； （ 4 ）不正确． 的所有子集是 ； （ 5 ）正确 （ 6 ）不正确．当 时， 与 能同时成立． 例 4 用适当的符号（ ， ）填空： （ 1 ） ； ； ； （ 2 ） ； ； （ 3 ） ； （ 4 ）设 ， ， ，则 A B C ． 解：（ 1 ） 0 0 ； （ 2 ） ＝ ， ； （ 3 ） ， ∴ ； （ 4 ） A ， B ， C 均表示所有奇数组成的集合，∴ A ＝ B ＝ C ． 【练习】教材 P 9 用适当的符号（ ， ）填空： （ 1 ） ； （ 5 ） ； （ 2 ） ； （ 6 mathsblog 发表于 08:56 | 阅读全文 | 评论(1) | 引用(Trackback0) | 编辑 §1.1集合 -[ 教案选摘 ] 时间：2004/08/30 23:45 第一章 集合与简易逻辑 §1.1集合 一、目的要求 1．通过本章的引言，使学生初步了解本章所研究的问题是集合与简易逻辑的有关知识，并认识到用数学解决实际问题离不开集合与逻辑的知识。 2．在小学与初中的基础上，结合实例，初步理解集合的概念，并知道常用数集及其记法。 3.从集合及其元素的概念出发，初步了解属于关系的意义。 二、内容分析 1．集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。 2.1.l节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。 3．这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。 4．在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。 三、教学过程 提出问题： 教科书引言所给的问题。 组织讨论： 为什么“回答有20名同学参赛”不一定对，怎么解决这个问题。 归纳总结： 1．可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题. 2．怎么解决这个问题呢？以前我们解一个问题，通常是先用代数式表示问题中的数量关系，再进一步求解，也就是先用数学语言描述它，把它数学化。这个问题与我们过去学过的问题不同，是属于与集合有关的问题，因此需要先用集合的语言描述它，完全解决问题，还需要更多的集合与逻辑的知识，这就是本章将要学习的内容了。 提出问题： 1．在初中，我们学过哪些集合？ 2．在初中，我们用集合描述过什么？ 组织讨论： 什么是集合？ 归纳总结： 1．代数：实数集合，不等式的解集等； 几何：点的集合等。 2．在初中几何中，圆的概念是用集合描述的。 新课讲解： 1．集合的概念：（具体举例后，进行描述性定义） (1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。 (2)元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 (3)集合中的元素与集合的关系： a是集合A的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A的元素，称a不属于集合A，记作 。 例如，设B＝{1，2，3，4，5}，那么 5∈B， 注：集合、元素概念是数学中的原始概念，可以结合实例理解它们所描述的整体与个体的关系，同时，应着重从以下三个元素的属性，来把握集合及其元素的确切含义。 ①确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。 例如，像“我国的小河流”、“年轻人”、“接近零的数”等都不能组成一个集合。 ②互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的。 此外，集合还有无序性，即集合中的元素无顺序。 例如，集合{1，2}，与集合{2，l｝表示同一集合。 2．常用的数集及其记法： 全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N，非负整数集内排除0的集，表示成 或 ； 全体整数的集合通常简称整数集，记作Z； 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q； 全体实数的集合通常简称实数集，记作R。 注：①自然数集与非负整数集是相同的，就是说，自然数集包括数0，这与小学和初中学习的可能有所不同； ②非负整数集内排除0的集，也就是正整数集，表示成 或 。其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成 或 。负整数集、正有理数集、正实数集等，没有专门的记法。 课堂练习： 教科书1．l节第一个练习第1题。 归纳总结： 1．集合及其元素是数学中的原始概念，只能作描述性定义。学习时应结合实例弄清其含义。 2．集合中元素的特性中，确定性可以用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可以用于判定集合间的关系（如后面要学习的包含或相等关系等）。 四、布置作业 教科书1．l节第一个练习第2题（直接填在教科书上）。 mathsblog 发表于 23:45 | 阅读全文 | 评论(2) | 引用(Trackback0) | 编辑 西方理性数学的倡导者——泰 勒 斯 -[ 数学其他 ] 时间：2004/08/30 23:35 西方理性数学的倡导者——泰 勒 斯 泰勒斯 （Thales,前624－前547），古希腊学者，出生在小亚细亚的米利都城的一个奴隶主贵族家庭。家庭政治地位的显贵、经济生活的富足，泰勒斯均不屑一顾，而是倾注全部精力从事哲学与科学的钻研。在年轻时，他四处游学，到过金字塔之国，在那里学会了天文观测、几何测量；也到过两河流域的巴比伦，饱学了东方璀灿的文化。回到家乡米利都后，创立了爱奥学派，后成为古希腊著名的七大学派之首。泰勒斯素有“科学之父”的美称。 泰勒斯有名名言：“水是万物之本源，万物终归于水。”他否定了神创造一切的观点，开创了从世界本身来认识世界的正确道路。在科学上，他倡导理性，不满足于直观的感性的特殊的认识，崇尚抽象的理性的一般的知识。譬如，等腰三角形的两底角相等，并不是指我们所能画出的、个别的等腰三角形，而应该是指“所有的”等腰三角形。这就需要论证、推理，才能确保数学命题的正确性，才能使数学具有理论上的严密性和应用上的广泛性。泰勒斯的积极倡导，为毕达哥拉斯创立理性的数学奠定了基础。 泰勒斯在数学方面曾发现了不少平面几何学的定理，诸如：“直径平分圆周”、“三角形两等边对等角”、“两条直线相交、对顶角相等”、“三角形两角及其夹边已知，此三角形完全确定”、“半圆所对的圆周角是直角”等，这些定理虽然简单，而且古埃及、巴比伦人也许早已知道，但是，泰勒斯把它们整理成一般性的命题，论证了它们的严格性，并在实践中广泛应用。据说他可以利用一根标杆，测量、推算出金字塔的高度。 泰勒斯在天文学方面也曾有不同凡响的工作，据说他曾测知公元前585年5月28日的一次日全食。当时正值战争之际，泰勒斯向世人宣告，若不停战，到时天神震怒！到了那天下午，两派将士仍激战不已，霎时间，太阳在天空中消失，星辰闪烁，大地一片漆黑。双方将士见此景象，砍太阳神真的发怒了，要降罪于人类，于是立即罢兵休战，从此铸剑为犁，和睦相处。 另据传说，泰勒斯醉心于钻研哲学与科学，且可谓清贫守道，而遭市井嘲笑。他不以为然地说，君子爱财取之有道。他在对气候预测的基础上，估计来年油料作物会大丰收，于是垄断了米利都和开奥斯两地的所有油坊，到季节以高价出租。有了钱，科学研究可以做得更好。 这两则传说，如果是真实的话，那么泰勒斯确实不愧于其墓碑上所镌刻的颂辞：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星辰的王国里，他顶天立地、万古流芳。”不过，这也是一则传说，因为泰勒斯生活的年代离我们太久远了，没有确切可靠的资料。 mathsblog 发表于 23:35 | 阅读全文 | 评论(1) | 引用(Trackback0) | 编辑 最富创造性的数学家—黎曼 -[ 数学其他 ] 时间：2004/08/17 01:25 最富创造性的数学家—黎曼 1826 年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师。 由于从小酷爱数学，黎曼在学习哲学和神学的同时也听些数学课。当时的哥廷根大学是世界数学的中心之一，—些著名的数学家如高斯、韦伯、斯特尔都在校执教。黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学，专攻数学。 1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。 l851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。 因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。1866年7月20日病逝于意大利，终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 复变函数论的奠基人 19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。 1851年，黎曼在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文，后来又在《数学杂志》上发表了四篇重要文章，对其博士论文中思想的做了进一步的阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础，并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，维尔斯特拉斯的思想可以从柯西—黎曼的观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼—罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。 1854年，黎曼为了取得哥廷根大学编外讲师的资格，对全体教员作了一次演讲，该演讲在其逝世后的两年(1868年)以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为黎曼几何。 为竞争巴黎科学院的奖金，黎曼在1861年写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。文中对他1854年的文章作了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。该文在他死后收集在1876年他的《文集》中。 黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径，这同在欧几里得几何中或者在高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的非欧几何中把空间作为一个整体进行考虑是对立的。黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。 黎曼引入流形和微分流形的概念，把维空间称为一个流形，维流形中的一个点可以用个可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身，这个可变参数称为流形的坐标，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。 黎曼仿照传统的微分几何定义流形上两点之间的距离、流形上的曲线、曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对维流形几何性质的研究。在维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻划曲面弯曲程度的曲率。他证明他在维流形上维数等于三时，欧几里得空间的情形与高斯等人得到的结果是一致的，因而黎曼几何是传统微分几何的推广。 黎曼发展了高斯关于一张曲面本身就是一个空间的几何思想，开展对维流形内蕴性质的研究。黎曼的研究导致另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生。 在黎曼看来，有三种不同的几何学。它们的差别在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。如果只能作一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，则为椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得一千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。这些逐渐被后人一一予以证实。 由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。 微积分理论的创造性贡献 黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。 18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支——微积分在概念和证明中表现出的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱进而到维尔斯特拉斯，都以全力的投入到分析的严密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克莱研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。 1854年黎曼为取得哥廷根大学编外讲师的资格，需要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是《关于利用三角级数表示一个函数的可能性的》文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析理论产生深远的影响。 柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教科书都“证明”连续函数一定是可微的。黎曼给出了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。 黎曼建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。 黎曼用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散。 解析数论跨世纪的成果 19世纪数论中的一个重要发展是由狄利克莱开创的解析方法和解析成果的导入，而黎曼开创了用复数解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了《在给定大小之下的素数个数》的论文。这是一篇不到十页的内容极其深到的论文，他将素数的分布的问题归结为函数的问题，现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。 在黎曼死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支。如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。 那个未解决的问题现称为“黎曼猜想”，即：在带形区域中的一切零点都位于去这条线上(希尔伯特23个问题中的第8个问题)，这个问题迄今没有人证明。对于某些其它的域，布尔巴基学派的成员已证明相应的黎曼猜想。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数论理论的贡献，也极大地丰富了 复变函数论的内容。 组合拓扑的开拓者 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的顶点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，这些促使了人们对组合拓扑学(当时被人们称为位置几何学或位置分析学)的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。 黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。 比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 代数几何的开源贡献 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何。 黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。 著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。 在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了一些关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一个人，他试图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。 黎曼在1857年的论文《对可用高斯级数表示的函数的理论的补充》，及同年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中，他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。 19世纪后半期，许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和Kellogg借助当时已经发展了的积分方程理论，才第一次给出完全解。 黎曼在常微分方程理论中自守函数的研究上也有建树，在他的1858～1859年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中，他建立了为研究二阶线性微分方程而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼——许瓦兹定理。 在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在1858年～1859年论文中，创造性的提出解波动方程初值问题的新方法，简化了许多物理问题的难度；他还推广了格林定理；对关于微分方程解的存在性的狄里克莱原理作了杰出的工作，…… 黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲义，后来由韦伯以《数学物理的微分方程》编辑出版，这是一本历史名著。 不过，黎曼的创造性工作当时未能得到数学界的一致公认，一方面由于他的思想过于深邃，当时人们难以理解，如无自由移动概念非常曲率的黎曼空间就很难为人接受，直到广义相对论出现才平息了指责；另一方面也由于他的部分工作不够严谨，如在论证黎曼映射定理和黎曼—罗赫定理时，滥用了狄利克雷原理，曾经引起了很大的争议。 黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。 mathsblog 发表于 01:25 | 阅读全文 | 评论(3) | 引用(Trackback0) | 编辑 坚持理论联系实际 -[ 教学心得 ] 时间：2004/08/17 01:23 坚持理论联系实际 我国 的传统教育，整体上脱离实际。从教材到教学，从教师到学生应用意识比较薄弱。新高中教材〈实验本〉从知识的引入，知识的应用及数学语言与普通语言的转化几方面对教学内容进行了重点改革，对教育观念的更新是有力的推动，下面从以上三方面谈谈自己在教学中的体会。 注重知识形成过程的教学，使学生学习的知识产生广泛的迁移应试教育弊端之一在于缩短了新授课中知识形成过程的教学，使学生很难实现数学的有意义学习，只能对数学的基本概念如定义、公式法则机械记忆。而机械记忆的知识是很难产生广泛的迁移的，缺乏迁移的知识是无法转变成能力的。知识形成过程的新授课教学，应是培养一般思维和数学特殊思维方法的重要时机。因为在新知识学习过程中，必须运用各种思维方法在新旧知识间进行相互作用，才能建立起新旧知识间非人为的实质性联系，如果压缩知识形成过程，其被压缩的往往是学生既可学习思维方法，又可领会数学思想和方法的过程。学生将错过或失去思维发展和能力提高的机遇。如在反函数的定义教学中先举多例如：求函数 的反函数，求出反函数为： 强调原函数中 ，反函数中 紧紧抓住这一关键引出反函数的定义，求反函数的步骤。使得学生不仅深刻理解了反函数定义的实质，而且能准确地求反函数。再如讲等差、等比数列通项、前 项和公式的推导过程千万不要怕费时间，轻而易举给出公式，这样做对学生思维能力的培养是不利的。实际教学中我认为这样做如等差数列前 项和公式推导，先举两例求1+2+3+4+5+6+7+8+9=10=？1+2+…+99+100=？提问学生计算方法，启发学徒规律，进而形成等差数列前 项和公式的推导方法“倒项相加法”。这样做不仅能帮助学生牢固掌握所学公式，更重要的是使学生体会出用自己所学旧知识而获取新知识的过程。使他们获得成功的喜悦，增强了学生的学习主动性，使他们的思维能力在知识形成过程中不断发展。 加强实际应用问题的训练，在解决实际问题中让学生看到数学的力量传统数学中体现数学应用于现实的材料明显不足，新教材增加了这方面的内容，我们在教学中应给予足够的重视。除了课本上给出的45个例习题要足够重视之外，还要在课堂教学中更新观念，打开思路，发挥自己的主观能动性，将简炼的教学内容进行现实加工，从学生的客观实际出发提出问题，再从现实问题中抽象出数学概念、运算法则和数学思想得到形式化结果后，再设法回到实际中去，解决一些典型的实际问题。只有让学生经历这种活动过程才能更好地看到数学的力量，体会数学与现实世界的密切联系。当然在具体操作时应注意不宜过快由教师分析出数学关系式，而应让学生尽可能多思考、探求。因为应用题数学的关键和难点就在于把实际问题转化为数学问题，只有让同学大量参与分析与实践，才能积累建模经验。单靠教师讲例题，然后对例题分类，再让学生模仿的作法，虽然可以增强训练题量但对学生能力提高是不利的。另外应用问题教学中还应抓住实际背景的现实意义，如象新教材每章开始的引例那样，对学生进行认识生活认识社会的教育。新教材中省料问题（函数问题）这些问题的研究不仅使学生增长了生活、社会知识，对提高学生素质是非常有益的。此外，实际问题的计算结果也应引起注意。如习题中求铜板层问题（P172，13）要求计算结果保留到整数位，要特别注意引导学生考虑实际问题的具体意义，如果单纯理论计算，学生得到的结果几科都是错误的（80%以上）。所以通过实际问题的解答，还可引导学生破除单一地看事物，满足于一知半解的思维惰性，使用权学生细心审题，利用题设使问题得到严谨的解决，提高学生思维的全面性，进一步发展学生智力，培养能力。 加强数学语言与普通语言转化的教学，培养学生信息交流的能力数学语言具有精简、简捷、抽象等等特点，将普通语言转化为数学语言便于问题的解决（如应用问题）。将数学语言转化为普通语言，便于学生理解数学概念。实践证明凡是学生能用自己的语言叙述概念和解释概念所揭示的本质属性，那么它们对概念的理解就更深刻。如在第一章集体教学中，学生对集合理解困难。我们可以引导学生转化为集合中元素特征为被2除余1的整数，所以此集合即为奇数集，再如已知A= ，B= ，求A B若能画出图形，问题易于解决（图形也是一种数学语言）。这样在平常教学中注重培养学生善于捕捉信息和信息交流的能力，对提高学生的数学素质、培养学生适合信息社会发展的需要起着重要作用。 总之，数学教学中注意知识形成过程的教学，把数学应用到生活和生产实际中去，提高学生数学语言和普通语言的交流能力，能促进学生素质的提高，促进应试教育向素质教育的转轨。对学生成为新一代公民，立足于社会是很有意义的。 mathsblog 发表于 01:23 | 阅读全文 | 评论(6) | 引用(Trackback0) | 编辑 分页: 日历 最后更新 最新评论 存档 我的链接